數學女孩 6 龐加萊猜想
(日)結城浩 著 陳朕疆 譯
出 版 社：人民郵電出版社
頁 數:394
出版日期:2022年08月01日
裝幀:平裝
ISBN:9787115594334
編輯推薦
適讀人群 ：本書適合對數學有興趣的初高中生以及成人閱讀。
《數學女孩》系列第六彈！
日本數學會強力推薦 讚的數學科普書
原版全系列累計發行突破57萬冊！
在動人的故事中走近數學，在青春的浪漫中理解數學
她之所以知道很多東西，是因為她一直在學習。這不是理所當然的？ ——節錄自本書
內容提要
《數學女孩》系列以小說的形式展開，重點在於描述一群年輕人探索數學之美的過程。內容由淺入深，數學講解部分十分精妙，被稱為「絕對讚的數學科普書」。 《數學女孩6：龐加萊猜想》以百年數學難題「龐加萊猜想」為主題，從柯斯堡七橋問題入手，詳細講解了拓撲學、非歐幾何、流形、微分方程、高斯絕妙定理和傅立葉展開式等數學知識，還原了龐加萊猜想的探索共歷，帶領讀者一絕妙定理和傅立葉展開式等數學知識，還原了龐加萊猜想的探索共歷，帶領讀者一絕妙的定理和傅立葉展開式等數學知識，還原了龐加萊猜想的探索共歷，帶領讀者一妙定理和傅立葉展開式等數學知識，還原了龐加萊猜想的探索共歷，帶領讀者一妙定理和傅立葉展開式等數學知識，還原了龐加萊猜想探索共歷，帶領讀者一妙地追尋「宇宙形狀」。整本書一氣呵成，非常適合對數學有興趣的國高中生以及成人閱讀。請翻開本書，一同加入主角們的探索之旅。
作者介紹
《數學女孩6：龐加萊猜想》 結城浩（作者） 生於1963年，日本技術作家和程式設計師。在程式語言、設計模式、數學、加密技術等領域，編寫了許多深受歡迎的入門書。代表作有《數學女孩》系列、《程式設計師的數學》 《圖解密碼技術》等。
陳朕疆（譯者） 自由譯者，曾在日本大學交換留學一年。
陳冠貴（譯者） 專職日文譯者。畢業於台灣大學，修讀漢語、日語雙主修。譯作橫跨文學、生活、經管、手工藝領域。自我期許能悠閒於漢日語之間，帶給讀者閱讀無礙的文字颯宴。
目錄
序言
章 柯尼斯堡七橋問題 1
1．1 尤里 1
1．2 一筆畫問題 2
1．3 從簡單的圖開始 7
1．4 圖與次數 11
1．5 這也是數學 15
1．6 逆定理的證明 18
第 2章 默比烏斯帶和克萊因瓶 35
2．1 樓頂 35
2．1．1 泰朵拉 35
2．1．2 默比烏斯帶 36
2．2 教室 39
2．3 圖書室 40
2．3．1 米爾嘉 40
2．3．2 分類 43
2．3．3 閉曲面的分類 45
2．3．4 可定向曲面 46
2．3．5 不可定向曲面 49
2．3．6 展開圖 51
2．3．7 連通和 63
2．4 歸途 72
第3章 泰朵拉的身邊 75
3．1 家人的身邊 75
3．2 0 的附近 77
3．2．1 練習 77
3．2．2 全等與相似 81
3．2．3 對應關係 84
3．3 實數a的附近 86
3．3．1 全等、相似、同胚 86
3．3．2 連續函數 88
3．4 點a的附近 94
3．4．1 前往異世界的準備 94
3．4．2 距離的世界：實數a 的δ 鄰域 95
3．4．3 距離的世界：開集 96
3．4．4 距離的世界：開集的性質 98
3．4．5 旅程：從距離的世界到拓樸的世界 101
3．4．6 拓樸的世界：開集公理 103
3．4．7 拓樸的世界：開鄰域 106
3．4．8 拓樸的世界：連續映射 108
3．4．9 同胚映射 115
3．4．10 不變性 116
3．5 泰朵拉的身邊 117
第4章 非歐幾何 123
4．1 球面幾何 123
4．2 現在與未來之間 130
4．3 雙曲幾何 131
4．3．1 所謂的「學習」 131
4．3．2 非歐幾何 132
4．3．3 鮑耶與羅巴切夫斯基 137
4．3．4 自己家 141
4．4 跳出勾股定理 142
4．4．1 理紗 142
4．4．2 距離的定義 143
4．4．3 龐加萊圓盤模型 145
4．4．4 半平面模型 152
4．5 平行公理 153
4．6 自己家 156
第5章 跳入流形 159
5．1 跳出日常 159
5．1．1 輪到我了 159
5．1．2 為了打倒惡龍 160
5．1．3 尤里的疑問 161
5．1．4 考慮低維度的情況 162
5．1．5 會歪成什麼樣子呢 168
5．2 跳入非日常 174
5．2．1 櫻花樹下 174
5．2．2 內外翻轉 175
5．2．3 展開圖 177
5．2．4 龐加萊猜想 182
5．2．5 二維球面 183
5．2．6 三維球面 185
5．3 要跳入，還是跳出 187
5．3．1 醒過來時 187
5．3．2 Eulerians 188
第6章 捕捉看不見的形狀 193
6．1 捕捉形狀 193
6．1．1 沉默的形狀 193
6．1．2 問題的形狀 195
6．1．3 發現 197
6．2 用群來捕捉形狀 199
6．2．1 以數為線索 199
6．2．2 線索是什麼 204
6．3 用自環來捕捉形狀 206
6．3．1 自環 206
6．3．2 自環上的同倫 210
6．3．3 同倫類 213
6．3．4 同倫群 216
6．4 掌握球面 218
6．4．1 自己家 218
6．4．2 一維球面的基本群 218
6．4．3 二維球面的基本群 219
6．4．4 三維球面的基本群 221
6．4．5 龐加萊猜想 221
6．5 被限制的形狀 223
6．5．1 確認條件 223
6．5．2 捕捉我所不知道的自己 225
第7章 微分方程的溫度 229
7．1 微分方程 229
7．1．1 音樂教室 229
7．1．2 教室 231
7．1．3 指數函數 236
7．1．4 三角函數 243
7．1．5 微分方程的目的 245
7．1．6 彈簧振動 247
7．2 牛頓冷卻定律 253
第8章 高斯絕妙定理 263
8．1 車站前 263
8．1．1 尤里 263
8．1．2 讓人驚訝的事 267
8．2 自己家 268
8．2．1 268
8．2．2 罕有之物 271
8．3 圖書室 272
8．3．1 泰朵拉 272
8．3．2 理所當然的事 275
8．4 加庫拉 277
8．4．1 米爾嘉 277
8．4．2 傾聽 277
8．4．3 解題 279
8．4．4 高斯曲率 283
8．4．5 絕妙定理 286
8．4．6 齊性和各向同性 288
8．4．7 回禮 289
第9章 靈感與毅力 291
9．1 三角函數訓練 291
9．1．1 靈感與毅力 291
9．1．2 單位圓 292
9．1．3 正弦曲線 296
9．1．4 從旋轉矩陣到兩角和公式 297
9．1．5 從兩角和公式到積化和差公式 298
9．1．6 300
9．2 合格判定模擬考 302
9．2．1 不要緊張 302
9．2．2 不要被騙 302
9．2．3 需要靈感或毅力 305
9．3 看穿算式的形式 311
9．3．1 機率密度函數的研究 311
9．3．2 拉普拉斯積分的研究 317
9．4 傅立葉展開式 322
9．4．1 靈感 322
9．4．2 傅立葉展開式 324
9．4．3 毅力 329
9．4．4 靈感 331
第10章 龐加萊猜想 335
10．1 公開研討會 335
10．1．1 課程結束之後 335
10．1．2 午餐時間 336
10．2 龐加萊 337
10．2．1 形狀 337
10．2．2 龐加萊猜想 339
10．2．3 瑟斯頓的幾何化猜想 343
10．2．4 哈密頓的里奇流方程式 345
10．3 數學家 346
10．3．1 年表 346
10．3．2 菲爾茲獎 348
10．3．3 千禧年大獎難題 350
10．4 哈密頓 352
10．4．1 里奇流方程式 352
10．4．2 傅立葉的熱傳導方程式 353
10．4．3 顛覆性的想法 354
10．4．4 哈密頓計劃 356
10．5 佩雷爾曼 359
10．5．1 佩雷爾曼的論文 359
10．5．2 再前進一步 362
10．6 傅立葉 363
10．6．1 傅立葉的時代 363
10．6．2 熱傳導方程式 364
10．6．3 分離變數法 368
10．6．4 重疊積分 370
10．6．5 傅立葉積分 371
10．6．6 觀察類似的式子 375
10．6．7 回到里奇流方程式 376
10．7 我們 377
10．7．1 從過去到未來 377
10．7．2 冬天來了 378
10．7．3 春天不遠了 379
尾聲 381
後記 385
參考文獻與導讀 389
內容簡介
《數學女孩》1
《數學女孩》以小說的形式展開，重點在於描述一群年輕人在探索數學中的美。內容由淺入深，數學講解部分十分精妙，被稱為「絕讚的初等數學科普書」。內容涉及數列和數學模型、斐波那契數列、卷積、調和數、泰勒展開、巴塞爾問題、分拆數等，非常適合對數學感興趣的初高中生以及成人閱讀。
《數學女孩2 費馬大定理》
《數學女孩》系列以小說的形式展開，重點在於描述一群年輕人在探索數學中的美。內容由淺入深，數學講解部分十分精妙，被稱為「絕對讚的數學科普書」。
《數學女孩2：費馬大定理》有許多巧思。每一章針對不同議題進行解說，再於最後一章切入正題－費馬大定理。作者巧妙地以每一章的概念作為拼圖，拼出被稱為「世紀謎題」的費馬大定理的大概證明。整本書一氣呵成，非常適合對數學有興趣的初高中生以及成人閱讀。
《數學女孩3 哥德爾不完備定理》
《數學女孩》系列以小說的形式展開，重點在於描述一群年輕人在探索數學中的美。內容由淺入深，數學講解部分十分精妙，被稱為「絕對讚的數學科普書」。
《數學女孩3：哥德爾不完備定理》有許多巧思。每一章針對不同議題進行解說，然後**後一章切入正題──哥德爾不完備定理。作者巧妙地以每一章的概念作為拼圖，拼出與塔斯基的形式語言的真理論、圖靈機和判定問題一道被譽為「現代邏輯科學在哲學方面的三大成果」的哥德爾不完備定理的大概證明。整本書一氣呵成，非常適合對數學有興趣的初高中生以及成人閱讀。
《數學女孩4 隨機演算法》
《數學女孩》系列以小說的形式展開，重點在於描述一群年輕人在探索數學中的美。內容由淺入深，數學講解部分十分精妙，被稱為「絕對讚的數學科普書」。
《數學女孩4：隨機演算法》以「隨機演算法」為主題，從純粹的數學和電腦程式設計兩個角度對隨機演算法進行了細緻的講解。內容涉及排列組合、機率、期望值、線性法則、矩陣、順序查找演算法、二分查找演算法、冒泡排序演算法和快速排序演算法等。整本書一氣呵成，非常適合對數學和演算法感興趣的初高中生以及成人閱讀。
《數學女孩5 伽羅瓦理論》
《數學女孩》系列以小說的形式展開，重點在於描述一群年輕人在探索數學中的美。內容由淺入深，數學講解部分十分精妙，被稱為「絕對讚的數學科普書」。
《數學女孩5：伽羅瓦理論》從鬼腳圖講起，結合二次方程式的求根公式、尺規作圖、群和域等知識，最終帶領讀者進入伽羅瓦理論的世界，還原伽羅瓦短暫的一生中璀璨不朽的數學成就。整本書一氣呵成，非常適合對數學有興趣的初高中生以及成人閱讀。
《數學女孩6：龐加萊猜想》
《數學女孩》系列以小說的形式展開，重點在於描述一群年輕人探索數學之美的過程。內容由淺入深，數學講解部分十分精妙，被稱為「絕對讚的數學科普書」。 《數學女孩6：龐加萊猜想》以百年數學難題「龐加萊猜想」為主題，從柯斯堡七橋問題入手，詳細講解了拓樸學、非歐幾何、流形、微分方程、高斯絕妙定理和傅立葉展開式等數學知識，還原了龐加萊猜想的探索共歷，帶領讀者一妙追尋「宇宙形狀」。整本書一氣呵成，非常適合對數學有興趣的初高中生以及成人閱讀。請翻開本書，一同加入主角們的探索之旅吧。
目录
《數學女孩5 伽羅瓦理論》
序言
第 1章 有趣的鬼腳圖 1
1.1 交錯的鬼腳圖 1
1.2 溢出的鬼腳圖 5
1.2.1 計算數量 5
1.2.2 尤里的疑問 7
1.3 理所當然的鬼腳圖 8
1.3.1 冰沙 8
1.3.2 無可取代之物 8
1.3.3 可以畫出鬼腳圖的排列模式嗎？ 9
1.4 有趣的鬼腳圖 14
1.4.1 3 條豎線 14
1.4.2 鬼腳圖的2 次方 16
1.4.3 鬼腳圖的3 次方 18
1.4.4 繪圖 20
1.4.5 解開深層謎題 23
第 2章 睡美人的二次方程式 25
2.1 2次方根 25
2.1.1 尤里 25
2.1.2 負數×負數 26
2.1.3 複數平面 27
2.2 求根公式 29
2.2.1 二次方程式 29
2.2.2 方程式與多項式 31
2.2.3 推導二次方程式的求根式 32
2.2.4 傳達心情 36
2.3 解與係數的關係 37
2.3.1 泰朵拉 37
2.3.2 解與係數的關係 37
2.3.3 整理思緒 41
2.4 對稱多項式與域的觀點 42
2.4.1 米爾嘉 42
2.4.2 再探解與係數的關係 42
2.4.3 再探求根公式 49
2.4.4 回家的路上 56
第3章 探索形式 61
3.1 正三角形 61
3.1.1 醫院 61
3.1.2 再發燒 70
3.1.3 夢的結局 71
3.2 對稱群的形式 73
3.2.1 閱覽室 73
3.2.2 群公理 74
3.2.3 公理與定義 83
3.3 循環群的形式 86
3.3.1 前往「加庫拉」 86
3.3.2 結構 86
3.3.3 子群 87
3.3.4 基數 91
3.3.5 循環群 92
3.3.6 阿貝爾群 95
第4章 與你共軛 101
4.1 閱覽室 101
4.1.1 泰朵拉 101
4.1.2 因式分解 102
4.1.3 數的範圍 104
4.1.4 多項式的除法 106
4.1.5 1 的12 次方根 108
4.1.6 正n邊形 110
4.1.7 三角函數 111
4.1.8 出路 114
4.2 循環群 115
4.2.1 米爾嘉 115
4.2.2 12 個複數 116
4.2.3 製作表格 118
4.2.4 共有頂點的正多邊形 119
4.2.5 1 的原始12 次方根 122
4.2.6 分圓多項式 124
4.2.7 分圓方程式 130
4.2.8 與你共軛 132
4.2.9 循環群與生成元 133
4.3 模擬考 136
第5章 角的三等分 139
5.1 圖的世界 139
5.1.1 尤里 139
5.1.2 角的三等分問題 140
5.1.3 對於「角的三等分」問題的誤解 144
5.1.4 尺子與圓規 145
5.1.5 可以作圖的意義 147
5.2 數的世界 148
5.2.1 具體例子 148
5.2.2 透過作圖實現加減乘除運算 151
5.2.3 透過作圖開根號 154
5.3 三角函數的世界 158
5.3.1 雙倉圖書館 158
5.3.2 理紗 159
5.3.3 離別之際 163
5.4 方程式的世界 164
5.4.1 看穿結構 164
5.4.2 用有理數練習 169
5.4.3 一步的重複 172
5.4.4 能進入下一個步驟嗎？ 173
5.4.5 發現了嗎？ 176
5.4.6 預測與定理 178
5.4.7 出路在哪裡？ 180
第6章 支撐天空之物 187
6.1 維度 187
6.1.1 廟會 187
6.1.2 四維世界 188
6.1.3 章魚燒 190
6.1.4 支撐之物 192
6.2 線性空間 194
6.2.1 閱覽室 194
6.2.2 座標平面 196
6.2.3 線性空間 199
6.2.4 R上的線性空間C 202
6.2.5 Q上的線性空間Q(√2) 203
6.2.6 擴張的程度 208
6.3 線性獨立 212
6.3.1 線性獨立 212
6.3.2 維度的不變性 216
6.3.3 擴張次數 217
第7章 拉格朗日預解式的秘密 221
7.1 三次方程式的求根公式 221
7.1.1 泰朵拉 221
7.1.2 紅卡：契爾恩豪森轉換 222
7.1.3 橘色卡片：解與係數的關係 225
7.1.4 黃色卡片：拉格朗日預解式 227
7.1.5 綠卡：3 次方的和 231
7.1.6 藍卡：3 次方的積 236
7.1.7 靛色的卡片：從係數到解 238
7.1.8 紫色卡片：三次方程式的求根公式 243
7.1.9 描繪「旅行地圖」 244
7.2 拉格朗日預解式 248
7.2.1 米爾嘉 248
7.2.2 拉格朗日預解式的性質 253
7.2.3 能應用於其他例子嗎？ 257
7.3 二次方程式的求根公式 258
7.3.1 二次方程式的拉格朗日預解式 258
7.3.2 判別式 261
7.4 五次方程式的求根公式 263
7.4.1 五次方程式是什麼 263
7.4.2 「五」的意義 264
第8章 建造塔 267
8.1 音樂 267
8.1.1 咖啡廳 267
8.1.2 邂逅 269
8.2 講課 270
8.2.1 閱覽室 270
8.2.2 擴張次數 270
8.2.3 擴域與子域 271
8.2.4 Q(√2)/Q 273
8.2.5 出題 275
8.2.6 Q(√2,√3)/Q 276
8.2.7 擴張次數的積 279
8.2.8 (Q(√2+√3)/Q) 282
8.2.9 *小多項式 284
8.2.10 新發現？ 288
8.3 信 293
8.3.1 歸途 293
8.3.2 家 294
8.3.3 信 295
8.3.4 規矩數 295
8.3.5 晚餐 297
8.3.6 朝著方程式的可解性前進 298
8.3.7 *小分裂域 300
8.3.8 正規擴張 300
8.3.9 面對真實的物件 303
第9章 心情的形式 307
9.1 對稱群S3 的形式 307
9.1.1 雙倉圖書館 307
9.1.2 類別 313
9.1.3 陪集 317
9.1.4 整齊的形式 319
9.1.5 製作群 322
9.2 寫法的形式 329
9.2.1 Oxygen 329
9.2.2 置換的寫法 330
9.2.3 拉格朗日定理 332
9.2.4 正規子群的寫法 337
9.3 部分的形式 337
9.3.1 孤零零的 2 337
9.3.2 探索結構 338
9.3.3 伽羅瓦的正規分解 339
9.3.4 進一步除以C3 340
9.3.5 除法與同等看待 344
9.4 對稱群S4 的形式 348
9.5 心情的形式 351
9.5.1 Iodine 351
9.5.2 熄燈時間 352
第 10章 伽羅瓦理論 355
10.1 伽羅瓦節 355
10.1.1 簡略年表 355
10.1.2 第 一論文 358
10.2 定義 361
10.2.1 定義（可約與既約） 361
10.2.2 定義（置換群） 364
10.2.3 兩個世界 366
10.3 引理 367
10.3.1 引理1（既約多項式的性質） 367
10.3.2 引理2（用根製作的V） 370
10.3.3 引理3（以V 表示根） 372
10.3.4 引理4 （V 的共軛） 374
10.4 定理 378
10.4.1 定理1（「方程式的伽羅瓦群」的定義） 378
10.4.2 方程式x2 3x + 2 = 0的伽羅瓦群 380
10.4.3 方程式ax2 + bx + c = 0的伽羅瓦群 382
10.4.4 伽羅瓦群的製作方法 387
10.4.5 方程式x3 2x = 0的伽羅瓦群 390
10.4.6 定理2（縮小方程式的「伽羅瓦群」） 394
10.4.7 伽羅瓦的錯誤 398
10.4.8 定理3（加輔助方程式的所有的根） 399
10.4.9 重複縮小 401
10.4.10 定理4（縮小的伽羅瓦群的性質） 403
10.5 定理5（以代數方式解方程式的充分*要條件） 404
10.5.1 伽羅瓦提出的問題 404
10.5.2 何謂「以代數方式解方程式」 407
10.5.3 泰朵拉的問題 408
10.5.4 p次方根的增加 409
10.5.5 伽羅瓦的添加元素 413
10.5.6 手忙腳亂的尤里 418
10.6 兩座塔 418
10.6.1 三次方程式的一般形式 418
10.6.2 四次方程式的一般形式 420
10.6.3 二次方程式的一般形式 424
10.6.4 五次方程式不存在求根公式 426
10.7 夏天結束 428
10.7.1 伽羅瓦理論的基本定理 428
10.7.2 展覽 432
10.7.3 夜晚的Oxygen 432
10.7.4 無可取代之物 434
尾聲 437
後記 444
參考文獻與導讀 447
《數學女孩3 哥德爾不完備定理》
序言
第 1章 鏡子的獨白 1
1.1 誰是老實人.1
1.1.1 鏡子呀鏡子.1
1.1.2 誰是老實人.3
1.1.3 相同的回答.7
1.1.4 回答是沉默.8
1.2 邏輯謎題.9
1.2.1 愛麗絲、博麗絲和克麗絲.9
1.2.2 用表格來想 10
1.2.3 出題者的心思 14
1.3 帽子是什麼顏色 15
1.3.1 不知道 15
1.3.2 對出題者的驗證 18
1.3.3 鏡子的獨白 19
第 2章 皮亞諾算術 23
2.1 泰朵拉 23
2.1.1 皮亞諾公理 23
2.1.2 無數個願望 27
2.1.3 皮亞諾公理.PA1.28
2.1.4 皮亞諾公理.PA2.29
2.1.5 養大 32
2.1.6 皮亞諾公理 PA3.34
2.1.7 小的？35
2.1.8 皮亞諾公理.PA4.36
2.2 米爾嘉 39
2.2.1 皮亞諾公理 PA5.42
2.2.2 數學歸納法 43
2.3 在無數腳步之中 49
2.3.1 有限？無限？49
2.3.2 動態？靜態？50
2.4 尤里 52
2.4.1 加法運算？52
2.4.2 公理呢？53
第3章 伽利略的猶豫 57
3.1 集合 57
3.1.1 美人的集合 57
3.1.2 外延表示法 58
3.1.3 餐桌 60
3.1.4 空集 61
3.1.5 集合的集合 62
3.1.6 公共部分 64
3.1.7 並集 67
3.1.8 包含關係 68
3.1.9 為什麼要研究集合 71
3.2 邏輯 72
3.2.1 內涵表示法 72
3.2.2 羅素悖論 74
3.2.3 集合運算與邏輯運算 77
3.3 無限 79
3.3.1 雙射鳥籠 79
3.3.2 伽利略的猶豫 83
3.4 表示 86
3.4.1 歸途 86
3.4.2 書店 87
3.5 沉默 88
第4章 無限接近的目的地 91
4.1 家中 91
4.1.1 尤里 91
4.1.2 男生的「證明」 92
4.1.3 尤里的「證明」 93
4.1.4 尤里的「懷疑」 96
4.1.5 我的講解 97
4.2 *市 99
4.3 音樂教室 104
4.3.1 字母的導入 104
4.3.2 極限 106
4.3.3 憑聲音決定音樂 108
4.3.4 極限的計算 111
4.4 歸途 119
第5章 萊布尼茲之夢 123
5.1 若尤里，則非泰朵拉 123
5.1.1 「若…則…」的含義 123
5.1.2 萊布尼茲之夢 126
5.1.3 理性的界限？128
5.2 若泰朵拉，則非尤里 129
5.2.1 備戰高考 129
5.2.2 上課 131
5.3 若米爾嘉，則米爾嘉 133
5.3.1 教室 133
5.3.2 形式系統 135
5.3.3 邏輯公式 137
5.3.4 「若…則…」的形式 140
5.3.5 公理 142
5.3.6 證明論 143
5.3.7 推理規則 145
5.3.8 證明與定理 147
5.4 不是我，還是我 149
5.4.1 家中 149
5.4.2 形式的形式 150
5.4.3 含義的意義 152
5.4.4 若“若……則……”，則…… 153
5.4.5 邀約 157
第6章 -δ語言 159
6.1 數列的極限 159
6.1.1 從圖書室出發 159
6.1.2 到達階梯教室 160
6.1.3 理解複雜式子的方法 164
6.1.4 看絕** 166
6.1.5 看「若…則…」 169
6.1.6 看「所有」和「某個」 170
6.2 函數的極限 174
6.2.1 -δ 174
6.2.2 -δ的意義 177
6.3 摸底考 178
6.3.1 上榜 178
6.3.2 靜寂的聲音、沉默的聲音 179
6.4 「連續」的定義 181
6.4.1 圖書室 181
6.4.2 在所有點*不連續 184
6.4.3 是否存在在一點處連續的函數 186
6.4.4 逃出無限的迷宮 187
6.4.5 在一點處連續的函數！188
6.4.6 訴衷腸 192
第7章 對角論證法 197
7.1 數列的數列 197
7.1.1 可數集 197
7.1.2 對角論證法 201
7.1.3 挑戰：給實數編號 209
7.1.4 挑戰：有理數與對角論證法 213
7.2 形式系統的形式系統 215
7.2.1 相容性與完備性 215
7.2.2 哥德爾不完備定理 222
7.2.3 算術 224
7.2.4 形式系統的形式系統 225
7.2.5 詞彙的整理 229
7.2.6 數項 229
7.2.7 對角化 230
7.2.8 數學的定理 232
7.3 失物的失物 233
第8章 兩份孤獨所衍生的產物 239
8.1 重疊的對 239
8.1.1 泰朵拉的發現 239
8.1.2 我的發現 245
8.1.3 誰*沒發現的事實 246
8.2 家中 247
8.2.1 自己的數學 247
8.2.2 表現的壓縮 247
8.2.3 加法運算的定義 251
8.2.4 教師的存在 254
8.3 等價關係 255
8.3.1 畢業典禮 255
8.3.2 對衍生的產物 257
8.3.3 從自然數到整數 258
8.3.4 圖 259
8.3.5 等價關係 264
8.3.6 商集 268
8.4 餐廳 272
8.4.1 兩個人的晚餐 272
8.4.2 一對翅膀 272
8.4.3 無力考試 275
第9章 令人迷惑的螺旋樓梯 277
9.1 π弧度 277
9.1.1 不高興的尤里 277
9.1.2 三角函數 279
9.1.3 sin45° 282
9.1.4 sin60° 286
9.1.5 正弦曲線 290
9.2 π弧度 294
9.2.1 弧度 294
9.2.2 教人 296
9.3 π弧度 297
9.3.1 停課 297
9.3.2 餘數 298
9.3.3 燈塔 300
9.3.4 海邊 303
9.3.5 * 304
第 10章 哥德爾不完備定理 307
10.1 雙倉圖書館 307
10.1.1 入口 307
10.1.2 氯 308
10.2 希爾伯特計畫 310
10.2.1 希爾伯特 310
10.2.2 猜謎 312
10.3 哥德爾不完備定理 316
10.3.1 哥德爾 316
10.3.2 討論 318
10.3.3 證明的摘要 320
10.4 春天—形式系統 P.320
10.4.1 基本符號 320
10.4.2 數項與符號 322
10.4.3 邏輯公式 323
10.4.4 公理 324
10.4.5 推理規則 327
10.5 午餐時間 328
10.5.1 元數學 328
10.5.2 用數學研究數學 329
10.5.3 甦醒 329
10.6 夏天—哥德爾數 331
10.6.1 基本符號的哥德爾數 331
10.6.2 序列的哥德爾數 332
10.7 秋天—原始遞歸性 335
10.7.1 原始遞歸函數 335
10.7.2 原始遞歸函數（謂詞）的性質 338
10.7.3 表現定理 340
10.8 冬天—通往可證明性的漫長之旅 343
10.8.1 整理行裝 343
10.8.2 數論 344
10.8.3 序列 346
10.8.4 變數·符號·邏輯公式 348
10.8.5 公理、定理、形式證明 358
10.9 新春—不可判定語句 362
10.9.1 「季節」的確認 362
10.9.2 種子—從意義的世界到形式的世界 364
10.9.3 綠芽—p的定義 366
10.9.4 枝杈—r的定義 367
10.9.5 葉子—從 A1往下走 368
10.9.6 蓓蕾—從 B1開始往下走 369
10.9.7 不可判定語句的定義 369
10.9.8 梅花—.IsProvable(g).370
10.9.9 桃花—.IsProvable(not(g))的證明 372
10.9.10 櫻花—證明形式系統 P是不完整的 374
10.10 不完備定理的意義 376
10.10.1 「『我』是無法證明的」 376
10.10.2 第 二不完備定理的證明之概要 380
10.10.3 不完備定理衍生的產物 383
10.10.4 數學的界線？384
10.11 帶上夢想 386
10.11.1 並非結束 386
10.11.2 屬於我 387
尾 聲 391
後 記 395
參考文獻與導讀 399
《數學女孩4 隨機演算法》
序言
第 1 章 絕不輸的賭博 1
1.1 擲骰子 1
1.2 拋硬幣 4
1.2.1 兩枚硬幣 4
1.2.2 一枚硬幣 7
1.2.3 彩券的記憶 8
1.3 蒙提霍爾問題 11
1.3.1 3 個信封 11
1.3.2 上帝視角 18
第 2 章 積蹺步，致千里 21
2.1 高中 21
2.1.1 泰朵拉 21
2.1.2 理紗 22
2.1.3 順序查找 24
2.1.4 逐行調試 28
2.1.5 順序查找演算法分析 34
2.1.6 順序查找演算法分析（能找到v 的情況） 35
2.1.7 順序查找演算法分析（無法找到v 的情況） 38
2.2 演算法分析 40
目 錄
C O N T E N T S
2 目錄
2.2.1 米爾嘉 40
2.2.2 演算法分析 41
2.2.3 不同情況的歸納 42
2.2.4 思考意義 45
2.2.5 帶有哨兵的順序查找演算法 48
2.2.6 創造歷史 52
2.3 自己家 54
第3 章 171億7986萬9184份孤獨 61
3.1 排列 61
3.1.1 書店 61
3.1.2 豁然開朗 62
3.1.3 具體範例 63
3.1.4 找規律 65
3.1.5 一般化 70
3.1.6 鋪*道路 72
3.1.7 那傢伙 74
3.2 組合 76
3.2.1 圖書室 76
3.2.2 排列 77
3.2.3 組合 79
3.2.4 鱺魚與綠鯉魚 82
3.2.5 二項式定理 83
3.3 2n 的分配 88
3.3.1 帕斯卡三角形 88
3.3.2 位元模式 92
目錄 3
3.3.3 指數爆炸 94
3.4 冪運算的孤獨 96
3.4.1 回家路上 96
3.4.2 家 96
第4 章 可能性中的不確定性 99
4.1 可能性中的確定性 99
4.2 可能性中的不確定性 106
4.2.1 相同的可能性 106
4.2.2 真正的武器 107
4.3 可能性的實驗 109
4.3.1 解釋程序 109
4.3.2 擲骰子比賽 112
4.3.3 輪盤比賽 113
4.4 可能性的倒塌 115
4.4.1 機率的定義 115
4.4.2 機率的意義 118
4.4.3 數學的應用 118
4.4.4 解答疑問 120
4.5 可能性的公理定義 121
4.5.1 柯爾莫哥洛夫 121
4.5.2 樣本空間與機率分佈函數 121
4.5.3 機率公理 125
4.5.4 子集與事件 126
4.5.5 機率公理P1 129
4.5.6 機率公理P2 130
4 目錄
4.5.7 機率公理P3 131
4.5.8 還沒明白 132
4.5.9 擲出的點數為偶數的機率 134
4.5.10 質地不均勻的骰子和豎立的硬幣 137
4.5.11 約定 138
4.5.12 咳嗽 139
第5 章 期望 143
5.1 隨機變數 143
5.1.1 媽媽 143
5.1.2 泰朵拉 144
5.1.3 隨機變數的範例 146
5.1.4 機率分佈函數的範例 150
5.1.5 許多字 152
5.1.6 期望 153
5.1.7 公平的遊戲 157
5.2 線性法則 159
5.2.1 米爾嘉 159
5.2.2 和的期望等於期望的和 160
5.3 二項分佈 165
5.3.1 硬幣的話題 165
5.3.2 二項分佈的期望 168
5.3.3 劃分為和的形式 171
5.3.4 指示器隨機變數 172
5.3.5 快樂的作業 174
5.4 直到所有事情發生 175
目錄 5
5.4.1 不知何時 175
5.4.2 能盡全力嗎 176
5.4.3 運用所學的知識 180
5.4.4 盡全力 183
5.4.5 意料之外的事 192
第6 章 難以捉摸的未來 197
6.1 約定的記憶 197
6.2 階 199
6.2.1 更快的演算法 199
6.2.2 *多為n階 201
6.2.3 出題 204
6.2.4 *多為f(n) 階 206
6.2.5 log n 211
6.3 查找 215
6.3.1 二分查找 215
6.3.2 實例 217
6.3.3 分析 220
6.3.4 前往排序 227
6.4 排序 228
6.4.1 冒泡排序 228
6.4.2 實例 229
6.4.3 分析 231
6.4.4 大O表示法的層級 235
6.5 動態視角、靜態視角 237
6.5.1 需要比較幾次呢 237
6 目錄
6.5.2 比較樹 239
6.5.3 log n! 的評估 241
6.6 傳遞與學習 245
6.6.1 傳遞 245
6.6.2 學習 246
第7 章 矩陣 249
7.1 圖書室 249
7.1.1 瑞谷老師 249
7.1.2 TETRALIANE 250
7.2 尤里 252
7.2.1 無解 252
7.2.2 無窮多解 254
7.2.3 *解 256
7.2.4 信 268
7.3 泰朵拉 269
7.3.1 圖書室 269
7.3.2 行與列 269
7.3.3 矩陣與向量的積 271
7.3.4 聯立方程式與矩陣 273
7.3.5 矩陣的積 274
7.3.6 逆矩陣 275
7.4 米爾嘉 280
7.4.1 看穿隱藏的謎題 280
7.4.2 線性變換 286
7.4.3 旋轉 293
目錄 7
7.5 回家路上 296
第8 章 孤零零的隨機漫步 301
8.1 家 301
8.1.1 雨天的週六 301
8.1.2 下午茶時間 302
8.1.3 鋼琴問題 302
8.1.4 旋律範例 305
8.1.5 解題方法一：毅力比拼 308
8.1.6 解題方法二：一招定勝負 310
8.1.7 一般化 314
8.1.8 搖擺不定的心 319
8.2 清晨的上學路 320
8.3 中午的教室 322
8.3.1 矩陣的練習 322
8.3.2 搖擺不定的心 325
8.4 放學後的圖書室 327
8.4.1 流浪問題 327
8.4.2 A2 的意義 331
8.4.3 向著矩陣的n次方前進 332
8.4.4 上半場準備：對角矩陣 333
8.4.5 下半場準備：矩陣與逆矩陣的三明治 335
8.4.6 向著特徵值前進 336
8.4.7 向著特徵向量前進 342
8.4.8 求An 344
8.5 家 347
8 目錄
8.5.1 搖擺不定的心 347
8.5.2 雨夜 349
第9 章 堅強、正直、美麗 351
9.1 家 351
9.2 圖書室 358
9.2.1 邏輯題 358
9.2.2 可滿足性問題 358
9.2.3 3-SAT 360
9.2.4 滿足 363
9.2.5 分配方式的練習 364
9.2.6 NP完全問題 365
9.3 回家路上 367
9.3.1 誓言與約定 367
9.3.2 會議 368
9.4 圖書室 369
9.4.1 求解3-SAT問題的隨機演算法 369
9.4.2 隨機漫步 371
9.4.3 向著定量評估前進 376
9.4.4 另一個隨機漫步 378
9.4.5 關注循環 379
9.5 家 384
9.5.1 幸運的評估 384
9.5.2 化簡和式 388
9.5.3 次數的評估 390
9.6 圖書室 391
目錄 9
9.6.1 獨立與互斥 391
9.6.2 *的評估 392
9.6.3 斯特林公式 396
9.7 回家路上 403
9.8 家 405
第 10章 隨機演算法 407
10.1 休閒餐廳 407
10.2 學校 409
10.2.1 中午 409
10.2.2 快速排序演算法 410
10.2.3 透過樞紐項劃分數列—兩翼 413
10.2.4 對子數列排序—遞歸 417
10.2.5 運轉步數的分析 418
10.2.6 分情況討論 421
10.2.7 *運轉步數 425
10.2.8 平均運轉步數 429
10.2.9 回家路上 434
10.3 自己家 435
10.3.1 變形 435
10.3.2 Hn 與log n 441
10.4 圖書室 443
10.4.1 米爾嘉 443
10.4.2 隨機快速排序 444
10.4.3 觀察比較過程 447
10.4.4 期望的線性法則 452
10 目錄
10.4.5 指示器隨機變數的期望值等於機率 453
10.5 休閒餐廳 456
10.5.1 各種各樣的隨機演算法 456
10.5.2 準備 457
10.6 雙倉圖書館 458
10.6.1 Iodine 458
10.6.2 緊張 459
10.6.3 報告 461
10.6.4 傳達 462
10.6.5 Oxygen 464
10.6.6 連接 465
10.6.7 庭園 466
10.6.8 約定的印記 468
尾 聲 471
後 記 477
參考文獻與導讀 481
《數學女孩1》
致讀者 1
序言 1
第 1章 數列與數學模型 1
1.1 櫻花樹下 1
1.2 自己家 5
1.3 數列智力題沒有正確答案 8
第 2章 一封名叫數學公式的情書 13
2.1 在校門口 13
2.2 心算智力題 14
2.3 信 15
2.4 放學後 16
2.5 階梯教室 17
2.5.1 質數的定義 19
2.5.2 值的定義 23
2.6 回家路上 25
2.7 自己家 27
2.8 米爾嘉的解答 31
2.9 圖書室 33
2.9.1 方程式和恆等式 33
2.9.2 積的形式與和的形式 37
2.10 在數學公式另一頭的人到底是誰 41
第3章 ω的華爾滋 43
3.1 圖書室 43
3.2 振動與旋轉 46
3.3 ω 53
第4章 斐波那契數列與生成函數 61
4.1 圖書室 61
4.1.1 找規律 62
4.1.2 等比數列的和 64
4.1.3 向無窮級數進軍 64
4.1.4 向生成函數進軍 66
4.2 抓住斐波那契數列的要害 68
4.2.1 斐波那契數列 68
4.2.2 斐波那契數列的生成函數 70
4.2.3 封閉表達式 71
4.2.4 用無窮級數來表示 73
4.2.5 解決 75
4.3 回顧 79
第5章 基本不等式 81
5.1 在「神樂」 81
5.2 滿是疑問 83
5.3 不等式 85
5.4 再進一步看看 94
5.5 關於學習 97
第6章 在米爾嘉旁邊 103
6.1 微分 103
6.2 差分 107
6.3 微分和差分 109
6.3.1 一次函數x 110
6.3.2 二次函數x2 111
6.3.3 三次函數x3 113
6.3.4 指數函數e x 115
6.4 在兩個世界往返的旅行 117
第7章 卷積 121
7.1 圖書室 121
7.1.1 米爾嘉 121
7.1.2 泰朵拉 125
7.1.3 推導公式 125
7.2 在回家路上談一般化 129
7.3 在咖啡店談二項式定理 130
7.4 在自己家裡解生成函數 140
7.5 圖書室 146
7.5.1 米爾嘉的解 146
7.5.2 研究生成函數 152
7.5.3 圍巾 155
7.5.4 **後的要塞 156
7.5.5 攻陷 159
7.5.6 半徑是0 的圓 163
第8章 調和數 167
8.1 尋寶 167
8.1.1 泰朵拉 167
8.1.2 米爾嘉 169
8.2 圖書室裡的對話 170
8.2.1 部分與與無窮級數 170
8.2.2 從理所當然的地方開始 173
8.2.3 命題 175
8.2.4 對於所有的… 178
8.2.5 存在… 180
8.3 螺旋式樓梯的音樂教室 184
8.4 令人掃興的 函數 186
8.5 對無窮大的過高評價 187
8.6 在教室中研究調和函數 194
8.7 兩個世界、四種運算 197
8.8 已知的鑰匙、未知的門 203
8.9 如果全世界只有兩個質數 205
8.9.1 卷積 206
8.9.2 收斂的等比數列 207
8.9.3 質因數分解的定理 208
8.9.4 質數無限性的證明 209
8.10 天象儀 213
第9章 泰勒展開與巴塞爾問題 217
9.1 圖書室 217
9.1.1 兩張卡片 217
9.1.2 無限次多項式 219
9.2 自學 222
9.3 在那家叫「豆子」的咖啡店 224
9.3.1 微分的規則 224
9.3.2 更進一步微分 227
9.3.3 sin x 的泰勒展開 230
9.3.4 極限函數的圖像 233
9.4 自己家 237
9.5 代數學基本定理 239
9.6 圖書室 245
9.6.1 泰朵拉的嘗試 245
9.6.2 要到達哪裡 248
9.6.3 向無限挑戰 255
第 10章 分拆數 259
10.1 圖書室 259
10.1.1 分拆數 259
10.1.2 舉例 261
10.2 回家路上 267
10.2.1 斐波那契手勢 267
10.2.2 分組 269
10.3 「豆子」咖啡店 271
10.4 自己家 273
10.5 音樂教室 278
10.5.1 我的發言（分拆數的生成函數） 279
10.5.2 米爾嘉的發言（分拆數的上限） 287
10.5.3 泰朵拉的發言 292
10.6 教室 296
10.7 尋找更好的上限之旅 298
10.7.1 以產生函數為出發點 299
10.7.2 「第 一個轉角」積變為和 300
10.7.3 「東邊的森林」泰勒展開 301
10.7.4 「西邊的山丘」調和數 307
10.7.5 旅行結束 308
10.7.6 泰朵拉的回顧 311
10.8 明天見 312
尾聲 315
結語 319
參考文獻與導讀 321
《數學女孩2 費馬大定理》
序言 1
第 1章 將無限宇宙盡收掌心 1
1.1 銀河 1
1.2 發現 2
1.3 找不同 3
1.4 時鐘巡迴 6
1.5 完全巡迴的條件 13
1.6 巡迴哪裡 15
1.7 *越人類的極限 19
1.8 是什麼東西，你們知道嗎 22
第 2章 勾股定理 25
2.1 泰朵拉 25
2.2 米爾嘉 29
2.3 尤里 32
2.4 畢達哥拉·榨汁機 33
2.5 家中 35
2.5.1 調查奇偶性 35
2.5.2 使用數學公式 37
2.5.3 向著乘積的形式進發 38
2.5.4 互質 40
2.5.5 分解質因數 43
2.6 給泰朵拉講解 49
2.7 十分感謝 51
2.8 單位圓上的有理點 52
第3章 互質 59
3.1 尤里 59
3.2 分數 61
3.3 **大公約數和**小公倍數 63
3.4 打破砂鍋問到底的人 68
3.5 米爾嘉 69
3.6 質數指數記數法 70
3.6.1 實例 70
3.6.2 節奏加快 73
3.6.3 乘法運算 74
3.6.4 **大公約數 75
3.6.5 向著無限維空間出發 77
3.7 米爾嘉大人 78
第4章 反證法 83
4.1 家中 83
4.1.1 定義 83
4.1.2 命題 86
4.1.3 數學公式 88
4.1.4 證明 95
4.2 高中 97
4.2.1 奇偶 97
4.2.2 矛盾 101
第5章 可以粉碎的質數 105
5.1 教室 105
5.1.1 速度題 105
5.1.2 用一次方程式定義數字 107
5.1.3 用二次方程式定義數字 109
5.2 複數的和與積 111
5.2.1 複數的和 111
5.2.2 複數的積 112
5.2.3 複平面上的±i 116
5.3 五個格點 120
5.3.1 卡片 120
5.3.2 「豆子」咖啡店 122
5.4 可以粉碎的質數 126
第6章 阿貝爾群的眼淚 141
6.1 奔跑的早晨 141
6.2 144
6.2.1 為了將運算引入集合 144
6.2.2 運算 145
6.2.3 結合律 148
6.2.4 單位元 149
6.2.5 逆元 150
6.2.6 群的定義 151
6.2.7 群的範例 151
6.2.8 **小的群 155
6.2.9 有2個元素的群 156
6.2.10 同構 158
6.2.11 用餐 160
6.3 第 二天 160
6.3.1 交換律 160
6.3.2 正多邊形 162
6.3.3 數學文章的解釋 164
6.3.4 辯群公理 166
6.4 真實的樣子 167
6.4.1 本質與抽象化 167
6.4.2 搖擺不定的心 169
第7章 以髮型為模 173
7.1 時鐘 173
7.1.1 餘數的定義 173
7.1.2 時針指示之物 176
7.2 同餘 177
7.2.1 餘項 177
7.2.2 同餘 181
7.2.3 同餘的意義 184
7.2.4 不拘小節地同等看待 184
7.2.5 等式與同餘式 185
7.2.6 兩邊同時做除法運算的條件 186
7.2.7 拐杖 190
7.3 除法的本質 192
7.3.1 喝著可可 192
7.3.2 運算表的研究 193
7.3.3 證明 198
7.4 群·環·域 200
7.4.1 既約剩餘類群 200
7.4.2 由群到環 203
7.4.3 由環到域 209
7.5 以髮型為模 214
第8章 無窮遞降法 217
8.1 費馬大定理 217
8.2 泰朵拉的三角形 224
8.2.1 圖書室 224
8.2.2 曲曲折折的小路 229
8.3 我的旅行 230
8.3.1 旅行的出發點：用m, n表示A, B, C, D 230
8.3.2 原子和基本粒子的關係：用e, f, s, t 表示m, n 235
8.3.3 研究基本粒子s+t, s-t 237
8.3.4 基本粒子和夸克的關係：用u, v表示s, t 240
8.4 尤里的靈感 242
8.4.1 房間 242
8.4.2 小學 243
8.4.3 自動販賣機 245
8.5 米爾嘉的證明 252
8.5.1 備戰 252
8.5.2 米爾嘉 253
8.5.3 *差填上**後一塊拼圖 258
第9章 **美的數學公式 261
9.1 **美的數學公式 261
9.1.1 歐拉的式子 261
9.1.2 歐拉的公式 263
9.1.3 指數運演算法則 267
9.1.4 -1次方，1/2次方 272
9.1.5 指數函數 273
9.1.6 遵守數學公式 277
9.1.7 向三角函數架起橋樑 279
9.2 準備慶功宴 286
9.2.1 音樂教室 286
9.2.2 自己家 287
第 10章 費馬大定理 289
10.1 公開研討會 289
10.2 歷史 291
10.2.1 問題 291
10.2.2 初等數論的時代 292
10.2.3 代數數論時代 293
10.2.4 幾何數論時代 295
10.3 懷爾斯的興奮 296
10.3.1 搭乘時光機 296
10.3.2 從「1986年的景色」發現問題 297
10.3.3 半穩定的橢圓曲線 300
10.3.4 證明概要 302
10.4 橢圓曲線的世界 303
10.4.1 什麼是橢圓曲線 303
10.4.2 從有理數域到有限域 305
10.4.3 有限域F 307
10.4.4 有限域F 309
10.4.5 有限域F 5 310
10.4.6 點的個數 312
10.4.7 棱柱 313
10.5 自守形式的世界 314
10.5.1 保護形式 314
10.5.2 q展開 316
10.5.3 從F(q)到數列a(k) 317
10.6 谷山-志村定理 321
10.6.1 兩個世界 321
10.6.2 弗賴曲線 323
10.6.3 半穩定 323
10.7 慶功宴 326
10.7.1 自己家中 326
10.7.2 Zeta·變奏曲 327
10.7.3 生產的孤獨 330
10.7.4 尤里的靈感 331
10.7.5 並非偶然 334
10.7.6 平安夜 336
10.8 仙女座也研究數學 336
尾聲 341
後記 345
參考文獻與導讀 347
